1- Achar o resto e quociente das seguintes divisões:
a) (12x² - 8x) : (2x)
b) (x² + 5x +6) : (x + 2)
c) (x² - 7x + 10) : (x - 2)
Espero que tenham entendido!!
Bjss*
Matemática em Ação!
Projeto realizado pela profª Thamires do colégio Miguel Couto. Welcome to our blog!
terça-feira, 6 de dezembro de 2011
quinta-feira, 1 de dezembro de 2011
Divisão de Polinômios
Como a divisão de polinômios é mais complicada decidimos colocar um video para melhor entendimento.
quarta-feira, 9 de novembro de 2011
Operações com Polinômios
Mostraremos aqui operações de polinômios com adição, subtração, multiplicação.
O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Observe o exemplo a seguir:
ADIÇÃO
EX: 1
Somando x² - 3x - 1 com -3x² + 8x - 6.
(x² - 3x - 1) + (-3x² + 8x - 6) --> eliminamos o segundo parênteses através do jogo de sinal;
+(-3x²) = -3x²
+(+8x) = +8x
+(-6) = -6
x² - 3x - 1 - 3x² + 8x - 6 --> reduzimos os termos semelhantes;
x² - 3x² - 3x + 8x - 1 - 6 --> colocamos os termos iguais do mesmo lado e somamos.
-2x² + 5x - 7.
Portanto: (x² - 3x - 1) + (-3x² + 8x - 6) é igual à -2x² + 5x - 7.
EX: 2
Somando 4x² - 10x - 5 e 6x + 12, teremos:
(4x² - 10x - 5) + (6x + 12) --> novamente eliminamos os parênteses com o jogo de sinal;
4x² - 10x - 5 + 6x + 12 --> reduzimos os termos semelhantes;
4x² - 10x + 6x - 5 + 12 --> colocamos os termos iguais do mesmo lado e fazemos a soma.
4x² - 4x + 7.
Portanto: (4x² - 10x - 5) + (6x + 12) é igual à 4x² - 4x +7.
SUBTRAÇÃO
EX: 1
Subtraindo -3x² + 10x - 6 de 5x² - 9x - 8.
(5x² - 9x - 8) - (3x² + 10x - 6) --> eliminamos os parênteses;
-(-3x²) = +3x²
-(+10x) = -10x
-(-6) = +6
5x² - 9x - 8 + 3x² - 10x + 6 --> reduzimos os termos semelhantes;
5x² + 3x² - 9x -10x - 8 + 6 --> colocamos os termos iguais do mesmo lado e fazemos a subtração.
8x² - 19x - 2.
Portanto: (5x² - 9x - 8) - (3x² + 10x - 6) é igual à 8x² - 19x - 2.
EX: 2
Se subtrairmos 2x³ - 5x² - x + 21 e 2x³ + x² - 2x +5, teremos:
(2x³ - 5x² - x + 21) - (2x³ + x² - 2x +5) --> eliminamos os parênteses;
2x³ - 5x² - x + 21 - 2x³ + x² - 2x + 5 -->reduzimos os termos semelhantes;
2x³ - 2x³ - 5x² - x² - x + 2x + 21 - 5 --> colocamos os termos iguais do mesmo lado e subtraimos cada um.
0x³ - 6x² + x + 16
- 6x² + x +16.
Portanto: (2x³ - 5x² - x + 21) - (2x³ + x² - 2x +5) é igual à - 6x² + x +16.
MULTIPLICAÇÃO
Ex: 1
Se multiplicarmos (3x - 1) por (5x² + 2), teremos:
(3x - 1) . (5x² + 2) --> aplicar a propriedade distributiva.
3x . 5x² + 3x . 2 - 1 . 5x² - 1 . 2
15x³ + 6x - 5x² - 2
Portanto: (3x - 1) . (5x² + 2) é igual à 15x³ + 6x - 5x² - 2.
EX: 2
Multiplicando (2x² + x + 1) por (5x - 2), teremos:
(2x² + x + 1) . (5x - 2) --> aplicar a propriedade distributiva.
2x² . (5x) + 2x² . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2)
10x³ - 4x² + 5x² - 2x + 5x - 2
10x³ + x² + 3x - 2
Portanto: (2x² + x + 1) . (5x - 2) é igual à 10x³ + x² + 3x - 2.
Como as de divisões são um pouquinho mais complicadas colocaremos em um outro post.
Até a próxima, okey?
Bjss..
O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Observe o exemplo a seguir:
ADIÇÃO
EX: 1
Somando x² - 3x - 1 com -3x² + 8x - 6.
(x² - 3x - 1) + (-3x² + 8x - 6) --> eliminamos o segundo parênteses através do jogo de sinal;
+(-3x²) = -3x²
+(+8x) = +8x
+(-6) = -6
x² - 3x - 1 - 3x² + 8x - 6 --> reduzimos os termos semelhantes;
x² - 3x² - 3x + 8x - 1 - 6 --> colocamos os termos iguais do mesmo lado e somamos.
-2x² + 5x - 7.
Portanto: (x² - 3x - 1) + (-3x² + 8x - 6) é igual à -2x² + 5x - 7.
EX: 2
Somando 4x² - 10x - 5 e 6x + 12, teremos:
(4x² - 10x - 5) + (6x + 12) --> novamente eliminamos os parênteses com o jogo de sinal;
4x² - 10x - 5 + 6x + 12 --> reduzimos os termos semelhantes;
4x² - 10x + 6x - 5 + 12 --> colocamos os termos iguais do mesmo lado e fazemos a soma.
4x² - 4x + 7.
Portanto: (4x² - 10x - 5) + (6x + 12) é igual à 4x² - 4x +7.
SUBTRAÇÃO
EX: 1
Subtraindo -3x² + 10x - 6 de 5x² - 9x - 8.
(5x² - 9x - 8) - (3x² + 10x - 6) --> eliminamos os parênteses;
-(-3x²) = +3x²
-(+10x) = -10x
-(-6) = +6
5x² - 9x - 8 + 3x² - 10x + 6 --> reduzimos os termos semelhantes;
5x² + 3x² - 9x -10x - 8 + 6 --> colocamos os termos iguais do mesmo lado e fazemos a subtração.
8x² - 19x - 2.
Portanto: (5x² - 9x - 8) - (3x² + 10x - 6) é igual à 8x² - 19x - 2.
EX: 2
Se subtrairmos 2x³ - 5x² - x + 21 e 2x³ + x² - 2x +5, teremos:
(2x³ - 5x² - x + 21) - (2x³ + x² - 2x +5) --> eliminamos os parênteses;
2x³ - 5x² - x + 21 - 2x³ + x² - 2x + 5 -->reduzimos os termos semelhantes;
2x³ - 2x³ - 5x² - x² - x + 2x + 21 - 5 --> colocamos os termos iguais do mesmo lado e subtraimos cada um.
0x³ - 6x² + x + 16
- 6x² + x +16.
Portanto: (2x³ - 5x² - x + 21) - (2x³ + x² - 2x +5) é igual à - 6x² + x +16.
MULTIPLICAÇÃO
Ex: 1
Se multiplicarmos (3x - 1) por (5x² + 2), teremos:
(3x - 1) . (5x² + 2) --> aplicar a propriedade distributiva.
3x . 5x² + 3x . 2 - 1 . 5x² - 1 . 2
15x³ + 6x - 5x² - 2
Portanto: (3x - 1) . (5x² + 2) é igual à 15x³ + 6x - 5x² - 2.
EX: 2
Multiplicando (2x² + x + 1) por (5x - 2), teremos:
(2x² + x + 1) . (5x - 2) --> aplicar a propriedade distributiva.
2x² . (5x) + 2x² . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2)
10x³ - 4x² + 5x² - 2x + 5x - 2
10x³ + x² + 3x - 2
Portanto: (2x² + x + 1) . (5x - 2) é igual à 10x³ + x² + 3x - 2.
Como as de divisões são um pouquinho mais complicadas colocaremos em um outro post.
Até a próxima, okey?
Bjss..
sexta-feira, 28 de outubro de 2011
Identidade de Polinômios
Considere os polinômios P(x) 3x² + 5x + 9 e Q(x) ax² + bx + c. Dizemos que P(x) é idêndico a Q(x) se, e somente se, P(α) = Q(α) para qualquer α . Desse modo, atribuindo valores a x, podemos determinar os coeficientes a, b e c para que os polinômios sejam idênticos.
Note, portanto, que os polinômios P(x) e Q(x) são idênticos se, e somente se, os coeficientes de termos de mesmo grau são iguais. Essa conclusão pode ser generalizada da seguinte maneira:
Definição:
Por exemplo:
Note, portanto, que os polinômios P(x) e Q(x) são idênticos se, e somente se, os coeficientes de termos de mesmo grau são iguais. Essa conclusão pode ser generalizada da seguinte maneira:
Definição:
Os polinômios e , na variável x, são idênticos se, e somente se:
com |N e 0 j n
com |N e 0 j n
Indicamos que dois polinômios P(x) e Q(x) são idênticos por P(x) Q(x); caso não sejam idênticos, indicamos por P(x) Q(x).
segunda-feira, 24 de outubro de 2011
O que é Polinômio?
Para que você entenda melhor, começaremos falando sobre os:
Monômios-> é a expressão mais simples da matemática, formada por um coeficiente e uma variável qualquer:
EX: 2x¹= dizemos que é um monômio do 1º Grau devido ao expoente ser 1;
3x²= monômio do 2º Grau devido ao seu expoente ser 2;
ax³= monômio do 3º Grau devido ao seu expoente ser 3;
E assim sucessivamente...
Quando você tem a soma de dois monômios, então você diz que é um BINÔMIO:
Binômios-> é a expressão matemática formada por dois monômios:
EX: 2x² + 4x
Trinômios-> é a expressão formada por 3 monômios:
EX: 2x² - 3x + 1
Polinômios-> é a expressão formada por mais de três monômios:
EX: 3y + 2x² + 5x + 5
Monômios-> é a expressão mais simples da matemática, formada por um coeficiente e uma variável qualquer:
EX: 2x¹= dizemos que é um monômio do 1º Grau devido ao expoente ser 1;
3x²= monômio do 2º Grau devido ao seu expoente ser 2;
ax³= monômio do 3º Grau devido ao seu expoente ser 3;
E assim sucessivamente...
Quando você tem a soma de dois monômios, então você diz que é um BINÔMIO:
Binômios-> é a expressão matemática formada por dois monômios:
EX: 2x² + 4x
Trinômios-> é a expressão formada por 3 monômios:
EX: 2x² - 3x + 1
Polinômios-> é a expressão formada por mais de três monômios:
EX: 3y + 2x² + 5x + 5
quinta-feira, 20 de outubro de 2011
O blog continua ...
Para alguns notícia boa...Para outros ruim, mas ainda assim atualizar um blog é mais fácil do que qualquer trabalho de matemática, (ponto de vista de uma aluna okay?)
Com o último post fechamos a máteria de números complexos, espero que as nossas publicações tenham ajudado de alguma forma a quem visitou... Agora estamos no quarto bimestre e a máteria que esta sendo passada pela professora é polinomios, vamos dar a definição e tudo mais que aparecer pela frente.
Espero que o blog ajude a quem passar por aqui e que fique completo rápido né?!
Com o último post fechamos a máteria de números complexos, espero que as nossas publicações tenham ajudado de alguma forma a quem visitou... Agora estamos no quarto bimestre e a máteria que esta sendo passada pela professora é polinomios, vamos dar a definição e tudo mais que aparecer pela frente.
Espero que o blog ajude a quem passar por aqui e que fique completo rápido né?!
terça-feira, 4 de outubro de 2011
Representação geometrica dos números complexos
O conjunto C também pode ser representado pelos pontos do Plano Cartesiano ou Plano de Argand Gauss.
Considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy e um ponto P de coordenadas (a, b) num Plano Cartesiano ou Plano de Argand Gauss. Sabendo que c = (a, b) = a + bi, chegamos à conclusão de que há uma relação biunívoca entre os pontos do plano e os números complexos.
Ponto P: imagem geométrica de c ou o afixo de c.
Eixo das abscissas Ox: eixo real, uma vez que seus pontos são os afixos dos números reais.
Eixo das ordenadas Oy: eixo imaginário, uma vez que seus pontos são os afixos dos números imaginários puros.
Interpretação geométrica
1) O módulo ρ simboliza a distância entre os ponto P e O, pois conforme o teorema de Pitágoras temos:
2) O argumento θ simboliza a medida do ângulo constituído por , que é determinado no sentido anti-horário partindo do semi-eixo . Sendo assim, da trigonometria, temos:
3) Representando o complexo c na forma algébrica fazemos uma referência ao ponto P dado pelas suas coordenadas polares.
c = a + bi ⇔ P(a, b)
4) Representando o complexo c na forma trigonométrica fazemos uma referencia ao ponto P dado pelas coordenadas polares.
c = ρ (cos θ + i . sen θ) ⇔ P(ρ, θ)
Considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy e um ponto P de coordenadas (a, b) num Plano Cartesiano ou Plano de Argand Gauss. Sabendo que c = (a, b) = a + bi, chegamos à conclusão de que há uma relação biunívoca entre os pontos do plano e os números complexos.
Ponto P: imagem geométrica de c ou o afixo de c.
Eixo das abscissas Ox: eixo real, uma vez que seus pontos são os afixos dos números reais.
Eixo das ordenadas Oy: eixo imaginário, uma vez que seus pontos são os afixos dos números imaginários puros.
Interpretação geométrica
1) O módulo ρ simboliza a distância entre os ponto P e O, pois conforme o teorema de Pitágoras temos:
2) O argumento θ simboliza a medida do ângulo constituído por , que é determinado no sentido anti-horário partindo do semi-eixo . Sendo assim, da trigonometria, temos:
3) Representando o complexo c na forma algébrica fazemos uma referência ao ponto P dado pelas suas coordenadas polares.
c = a + bi ⇔ P(a, b)
4) Representando o complexo c na forma trigonométrica fazemos uma referencia ao ponto P dado pelas coordenadas polares.
c = ρ (cos θ + i . sen θ) ⇔ P(ρ, θ)
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