Divisão de números complexos

Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z₁= a + bi e z₂= c + di, temos que:
z₁ / z₂ = [z₁.z₂^-] / [z₂z₂^-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]

Exemplos:

 a)1-2i/3+i

(1 - 2i) / (3 + i)
(1 - 2i)(3 - i) / (3 + i)(3 - i)
(3 - 7i - 2) / (9 + 1)
(1 - 7i) / 10

b)2+3i/2-i

(2 + 3i) / (2 - i)
(2 + 3i)(2 + i) / (2 - i)(2 + i)
(4 + 8i - 3) / (4 + 1)
(1 + 8i) / 5

c)5-3i/2+4i

(5 - 3i) / (2 + 4i)
(5 - 3i)(2 - 4i) / (2 + 4i)(2 - 4i)
(10 - 26i - 12) / (4 + 16)
(-2 - 26i) / 20
(-1 - 13i) / 10

Sabia Que...

• Há quem considere a designação números imaginários, tantas vezes atribuídas aos números complexos, como uma designação infeliz. Como temos uma tendência natural para ligar os nomes aos sentidos já conhecidos das palavras, e aprendemos as palavras imaginário e número em contextos totalmente diferentes dos que são usados pelos matemáticos, os alunos podem ser levados a pensar que estes números não existem. 

• Que existe um estudo sobre números complexos, no qual um número complexo z=a+bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da forma:

e todas as propriedades dos números complexos podem ser obtidas através de matrizes, resultando em processos que transformam as características geométricas dos números complexos em algo simples.

• Os inteiros gaussianos são números complexos em que tanto a parte real a como a parte imaginária b são números inteiros. Por exemplo: 9-2i é um inteiro gaussiano, ao contrário de 2/3-i.
•  De forma idêntica à dos primos em N, os primos gaussianos são os inteiros gaussianos divisíveis apenas por si próprios e por 1, -1, i e -i. Nem todos os primos reais são primos gaussianos. Existem dois critérios para determinar se um número complexo é ou não primo gaussiano:

Se a¹0 e b¹0 então a+bi é um primo gaussiano se e só se a2+b2 é um número primo

Um inteiro gaussiano da forma a ou ai, com aÎZ, é um primo gaussiano se e só se a é primo e |a|≡3 (mod 4)

Oposto, modulo e inverso dos números complexos

O oposto de qualquer número real é o seu simétrico, o oposto de 10 é -10, o oposto de -5 é +5. O oposto de um número complexo respeita essa mesma condição, pois o oposto do número complexo z será – z.

Exemplo: Dado o número complexo z = 8 – 6i, o seu oposto será:- z = - 8 + 6i

    O módulo de um número complexo z = a + bi, é geometricamente a distância entre a sua imagem e a origem do sistema de Argand-Gauss, e algebricamente igual a raiz quadrada da soma dos quadrados das partes real e imaginárias, isto é, , ou seja, é um número real positivo.

Já o inverso de um número é a troca do numerador pelo denominador e vice-versa, desde que essa fração ou número seja diferente de zero. Em um número complexo acontece da mesma forma: um número complexo para ter seu inverso é preciso ser não nulo, por exemplo: 

Dado um número complexo qualquer não nulo z = a + bi, o seu inverso será representado por z^–1. 

Veja o cálculo do inverso do número complexo z = 1 – 4i. 

 

Portanto, o inverso do número complexo z = 1 – 4i será:

 

Concluímos que o inverso de um número complexo não nulo terá a seguinte generalidade: z = a + bi 

Quando multiplicamos um número complexo pelo seu inverso o resultado será sempre igual a 1, z * z^–1= 1. Observe a multiplicação do complexo z = 1 – 4i pelo seu inverso:

A multiplicação de números complexos ocorre da seguinte maneira: 

(a+bi)*(c +di) = ac + adi + bci + bdi² = ac + (ad + bc)i + bd(–1) = ac + (ad + bc)i – bd = (ac – bd) + (ad + bc)i 

Conjugado de um número complexo

O conugado de um número complexo , z = a+ bi, é indicado por z* e definido por z*= a-bi, ou seja, só é obtido quando se troca o sinal da parte imaginária.


Exemplos: qual é o conjugado de:


Z =1+2i => z*= 1+2i
z= 3 - 4i => z*=3+4i
z=-5i => z*= -5i
z= 7/3 => z*=7/3
    
OBS: Ao multiplicar um número complexo qualquer pelo seu conjugado, o resultado é um número real e o conjugado é usado para fazer a divisão entre os números complexos.  

Operações com números complexos

Um jeito simples de definir o conjunto dos numeros complexos é cosiderar o conjunto de números reais do plano cartesiano (x,y), ideia proposta por Gauss em 1831 e reforçada por por Hamilton em 1837.


Valem as seguintes definições:


Igualdade:  lembrando que um número compĺexo é um par ordenado de números reais, podemos ter dois números complexos: z¹ = (a,b) e z² = (c,d). Escrevendo z¹ e z² na forma algébrica, temos a igualdade: a+bi = c+di onde a parte real é igual a parte real, ou seja, a=c e a parte imaginária é igual a parte imaginaria, bi=di.

Adição: Deve-se somar as partes imaginárias coma as partes imaginárias e as partes reais com as partes reais, (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)


Subtração: A mesma ideia da adição é aplicada na subtração, só troca  o sinal (a,b) - (c,b) = (a-c , b-d)


Multiplicação: Dados dois numeros complexos z¹ (a,b) e z² (c,d), para podemos determinar z³ = z¹ . z² aplicamos a distribuitiva, onde (a,b) . (c,d) fica igual a (a.c - b.d , a.d - b.c)   

Compreendendo os Números Complexos

O fato de um número negativo não ter raiz quadrada parece ter sido sempre claro para os matemáticos que se depararam com essa questão, então Para a ampliação dos conjuntos, os matemáticos criaram um conceito matemático e um novo número, que indicaram por i  e denominaram unidade imaginária, tal que : i² = i . i = -1
Logo, surgiram os números complexos, denotados por , que podem ser escritos na forma algébrica, que seria:  z = a +bi com {a,b} onde a e b são números reais e i denota a unidade imaginária.

OBS.:

1- Quando b= 0, z é um número real.
2- quando a= 0 e b≠0, z é um número imáginario puro.