Exercícios Resolvidos de Divisão de Polinômios

1- Achar o resto e quociente das seguintes divisões:

a) (12x² - 8x) : (2x)




b) (x² + 5x +6) : (x + 2)




c) (x² - 7x + 10) : (x - 2)



Espero que tenham entendido!!
Bjss*

Divisão de Polinômios

Como a divisão de polinômios é mais complicada decidimos colocar um video para melhor entendimento.

Operações com Polinômios

   Mostraremos aqui operações de polinômios com adição, subtração, multiplicação.
   O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Observe o exemplo a seguir:
  
ADIÇÃO
EX: 1
Somando x² - 3x - 1 com -3x² + 8x - 6.

(x² - 3x - 1) + (-3x² + 8x - 6) --> eliminamos o segundo parênteses através do jogo de sinal;

+(-3x²) = -3x²
+(+8x) = +8x
+(-6) = -6

x² - 3x - 1 - 3x² + 8x - 6 --> reduzimos os termos semelhantes;
x² - 3x² - 3x + 8x - 1 - 6 --> colocamos os termos iguais do mesmo lado e somamos.
-2x² + 5x - 7.

Portanto: (x² - 3x - 1) + (-3x² + 8x - 6) é igual à -2x² + 5x - 7.

EX: 2

Somando 4x² - 10x - 5 e 6x + 12, teremos:

(4x² - 10x - 5) + (6x + 12) --> novamente eliminamos os parênteses com o jogo de sinal;
4x² - 10x - 5 + 6x + 12 --> reduzimos os termos semelhantes;
4x² - 10x + 6x - 5 + 12 --> colocamos os termos iguais do mesmo lado e fazemos a soma.
4x² - 4x + 7.

Portanto: (4x² - 10x - 5) + (6x + 12) é igual à 4x² - 4x +7.


SUBTRAÇÃO
EX: 1

Subtraindo -3x² + 10x - 6 de 5x² - 9x - 8.

(5x² - 9x - 8) - (3x² + 10x - 6) --> eliminamos os parênteses;

-(-3x²) = +3x²
-(+10x) = -10x
-(-6) = +6

5x² - 9x - 8 + 3x² - 10x + 6 --> reduzimos os termos semelhantes;
5x² + 3x² - 9x -10x - 8 + 6 --> colocamos os termos iguais do mesmo lado e fazemos a subtração.
8x² - 19x - 2.

Portanto: (5x² - 9x - 8) - (3x² + 10x - 6) é igual à 8x² - 19x - 2.

EX: 2

Se subtrairmos 2x³ - 5x² - x + 21 e 2x³ + x² - 2x +5, teremos:

(2x³ - 5x² - x + 21) - (2x³ + x² - 2x +5) --> eliminamos os parênteses;
2x³ - 5x² - x + 21 - 2x³ + x² - 2x + 5 -->reduzimos os termos semelhantes;
2x³ - 2x³ - 5x² - x² - x + 2x + 21 - 5 --> colocamos os termos iguais do mesmo lado e subtraimos cada um.
0x³ - 6x² + x + 16
- 6x² + x +16.

Portanto: (2x³ - 5x² - x + 21) - (2x³ + x² - 2x +5) é igual à - 6x² + x +16.

MULTIPLICAÇÃO
Ex: 1

Se multiplicarmos (3x - 1) por (5x² + 2), teremos:
(3x - 1) . (5x² + 2) --> aplicar a propriedade distributiva.

3x . 5x² + 3x . 2 - 1 . 5x² - 1 . 2
15x³ + 6x - 5x² - 2

Portanto: (3x - 1) . (5x² + 2) é igual à 15x³ + 6x - 5x² - 2.

EX: 2

Multiplicando (2x² + x + 1) por (5x - 2), teremos:

(2x² + x + 1) . (5x - 2) --> aplicar a propriedade distributiva.

2x² . (5x) + 2x² . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2)
10x³ - 4x² + 5x² - 2x + 5x - 2
10x³ + x² + 3x - 2

Portanto: (2x² + x + 1) . (5x - 2) é igual à 10x³ + x² + 3x - 2.

   Como as de divisões são um pouquinho mais complicadas colocaremos em um outro post.
   Até a próxima, okey?
Bjss..

Identidade de Polinômios

Considere os polinômios P(x)  3x² + 5x + 9 e Q(x)  ax² + bx + c. Dizemos que P(x) é idêndico a Q(x) se, e somente se, P(α) = Q(α) para qualquer α  . Desse modo, atribuindo valores a x, podemos determinar os coeficientes a, b e c para que os polinômios sejam idênticos.

Por exemplo:

   Note, portanto, que os polinômios P(x) e Q(x) são idênticos se, e somente se, os coeficientes de termos de mesmo grau são iguais. Essa conclusão pode ser generalizada da seguinte maneira:


Definição:

   Os polinômios   e  , na variável x, são idênticos se, e somente se:


com  |N e 0  j  n

   Indicamos que dois polinômios P(x) e Q(x) são idênticos por P(x)  Q(x); caso não sejam idênticos, indicamos por P(x)  Q(x).

O que é Polinômio?

Para que você entenda melhor, começaremos falando sobre os:

Monômios-> é a expressão mais simples da matemática, formada por um coeficiente e uma variável qualquer:

EX: 2x¹= dizemos que é um monômio do 1º Grau devido ao expoente ser 1;
      3x²= monômio do 2º Grau devido ao seu expoente ser 2;
      ax³= monômio do 3º Grau devido ao seu expoente ser 3;
E assim sucessivamente...

  Quando você tem a soma de dois monômios, então você diz que é um BINÔMIO:
Binômios-> é a expressão matemática formada por dois monômios:

EX: 2x² + 4x

Trinômios-> é a expressão formada por 3 monômios:

EX: 2x² - 3x + 1

Polinômios-> é a expressão formada por mais de três monômios:

EX: 3y + 2x² + 5x + 5

O blog continua ...

Para alguns notícia boa...Para outros ruim, mas ainda assim atualizar um blog é mais fácil do que qualquer trabalho de matemática, (ponto de vista de uma aluna okay?) 
Com o último post fechamos a máteria de números complexos, espero que as nossas publicações tenham ajudado de alguma forma a quem visitou... Agora estamos no quarto bimestre e a máteria que esta sendo passada pela professora é polinomios, vamos dar a definição e tudo mais que aparecer pela frente.
Espero que o blog ajude a quem passar por aqui e que fique completo rápido né?!

Representação geometrica dos números complexos

O conjunto C também pode ser representado pelos pontos do Plano Cartesiano ou Plano de Argand Gauss.

Considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy e um ponto P de coordenadas (a, b) num Plano Cartesiano ou Plano de Argand Gauss. Sabendo que c = (a, b) = a + bi, chegamos à conclusão de que há uma relação biunívoca entre os pontos do plano e os números complexos.

Ponto P: imagem geométrica de c ou o afixo de c.
Eixo das abscissas Ox: eixo real, uma vez que seus pontos são os afixos dos números reais.
Eixo das ordenadas Oy: eixo imaginário, uma vez que seus pontos são os afixos dos números imaginários puros.



Interpretação geométrica 

1) O módulo ρ simboliza a distância entre os ponto P e O, pois conforme o teorema de Pitágoras temos:




2) O argumento θ simboliza a medida do ângulo constituído por , que é determinado no sentido anti-horário partindo do semi-eixo . Sendo assim, da trigonometria, temos:






3) Representando o complexo c na forma algébrica fazemos uma referência ao ponto P dado pelas suas coordenadas polares.

c = a + bi ⇔ P(a, b) 
4) Representando o complexo c na forma trigonométrica fazemos uma referencia ao ponto P dado pelas coordenadas polares.
c = ρ (cos θ + i . sen θ) ⇔ P(ρ, θ) 

Potencia em números complexos

Os números complexos são identificados por z = a + bi, onde a é a parte real e b a parte imaginária. A letra i acompanha a parte imaginária e dependo do valor de sua potência ela irá assumir um valor que irá facilitar vários cálculos. 

i ⁰ = 1, pois todo número ou letra elevando à zero é um. 
i ¹ = i, pois todo número elevado a 1 é ele mesmo. 
i ² = -1, a partir dessa potência que as outras irão derivar, veja: 
i ³ = i² . i = -1 . i = - i 
i ⁴ = i² . i² = -1 . (-1) = 1 
i ⁵ = i⁴ . i = 1 . i = i 
i ⁶ = i⁴ . i² = 1 . (-1) = -1. 
i ⁷ = i⁴ . i³ = 1 . (-i) = - i. E assim por diante. 

Para descobrir, por exemplo, qual era o valor da potência i²⁴³, basta observar o seguinte: nas potências acima elas repetem-se de 4 em 4, então basta dividirmos 243 por 4, o resto será 3 então i²⁴³ será o mesmo que i³, portanto i²⁴³ = - i. 

Divisão de números complexos

Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z₁= a + bi e z₂= c + di, temos que:
z₁ / z₂ = [z₁.z₂^-] / [z₂z₂^-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]

Exemplos:

 a)1-2i/3+i

(1 - 2i) / (3 + i)
(1 - 2i)(3 - i) / (3 + i)(3 - i)
(3 - 7i - 2) / (9 + 1)
(1 - 7i) / 10

b)2+3i/2-i

(2 + 3i) / (2 - i)
(2 + 3i)(2 + i) / (2 - i)(2 + i)
(4 + 8i - 3) / (4 + 1)
(1 + 8i) / 5

c)5-3i/2+4i

(5 - 3i) / (2 + 4i)
(5 - 3i)(2 - 4i) / (2 + 4i)(2 - 4i)
(10 - 26i - 12) / (4 + 16)
(-2 - 26i) / 20
(-1 - 13i) / 10

Sabia Que...

• Há quem considere a designação números imaginários, tantas vezes atribuídas aos números complexos, como uma designação infeliz. Como temos uma tendência natural para ligar os nomes aos sentidos já conhecidos das palavras, e aprendemos as palavras imaginário e número em contextos totalmente diferentes dos que são usados pelos matemáticos, os alunos podem ser levados a pensar que estes números não existem. 

• Que existe um estudo sobre números complexos, no qual um número complexo z=a+bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da forma:

e todas as propriedades dos números complexos podem ser obtidas através de matrizes, resultando em processos que transformam as características geométricas dos números complexos em algo simples.

• Os inteiros gaussianos são números complexos em que tanto a parte real a como a parte imaginária b são números inteiros. Por exemplo: 9-2i é um inteiro gaussiano, ao contrário de 2/3-i.
•  De forma idêntica à dos primos em N, os primos gaussianos são os inteiros gaussianos divisíveis apenas por si próprios e por 1, -1, i e -i. Nem todos os primos reais são primos gaussianos. Existem dois critérios para determinar se um número complexo é ou não primo gaussiano:

Se a¹0 e b¹0 então a+bi é um primo gaussiano se e só se a2+b2 é um número primo

Um inteiro gaussiano da forma a ou ai, com aÎZ, é um primo gaussiano se e só se a é primo e |a|≡3 (mod 4)

Oposto, modulo e inverso dos números complexos

O oposto de qualquer número real é o seu simétrico, o oposto de 10 é -10, o oposto de -5 é +5. O oposto de um número complexo respeita essa mesma condição, pois o oposto do número complexo z será – z.

Exemplo: Dado o número complexo z = 8 – 6i, o seu oposto será:- z = - 8 + 6i

    O módulo de um número complexo z = a + bi, é geometricamente a distância entre a sua imagem e a origem do sistema de Argand-Gauss, e algebricamente igual a raiz quadrada da soma dos quadrados das partes real e imaginárias, isto é, , ou seja, é um número real positivo.

Já o inverso de um número é a troca do numerador pelo denominador e vice-versa, desde que essa fração ou número seja diferente de zero. Em um número complexo acontece da mesma forma: um número complexo para ter seu inverso é preciso ser não nulo, por exemplo: 

Dado um número complexo qualquer não nulo z = a + bi, o seu inverso será representado por z^–1. 

Veja o cálculo do inverso do número complexo z = 1 – 4i. 

 

Portanto, o inverso do número complexo z = 1 – 4i será:

 

Concluímos que o inverso de um número complexo não nulo terá a seguinte generalidade: z = a + bi 

Quando multiplicamos um número complexo pelo seu inverso o resultado será sempre igual a 1, z * z^–1= 1. Observe a multiplicação do complexo z = 1 – 4i pelo seu inverso:

A multiplicação de números complexos ocorre da seguinte maneira: 

(a+bi)*(c +di) = ac + adi + bci + bdi² = ac + (ad + bc)i + bd(–1) = ac + (ad + bc)i – bd = (ac – bd) + (ad + bc)i 

Conjugado de um número complexo

O conugado de um número complexo , z = a+ bi, é indicado por z* e definido por z*= a-bi, ou seja, só é obtido quando se troca o sinal da parte imaginária.


Exemplos: qual é o conjugado de:


Z =1+2i => z*= 1+2i
z= 3 - 4i => z*=3+4i
z=-5i => z*= -5i
z= 7/3 => z*=7/3
    
OBS: Ao multiplicar um número complexo qualquer pelo seu conjugado, o resultado é um número real e o conjugado é usado para fazer a divisão entre os números complexos.  

Operações com números complexos

Um jeito simples de definir o conjunto dos numeros complexos é cosiderar o conjunto de números reais do plano cartesiano (x,y), ideia proposta por Gauss em 1831 e reforçada por por Hamilton em 1837.


Valem as seguintes definições:


Igualdade:  lembrando que um número compĺexo é um par ordenado de números reais, podemos ter dois números complexos: z¹ = (a,b) e z² = (c,d). Escrevendo z¹ e z² na forma algébrica, temos a igualdade: a+bi = c+di onde a parte real é igual a parte real, ou seja, a=c e a parte imaginária é igual a parte imaginaria, bi=di.

Adição: Deve-se somar as partes imaginárias coma as partes imaginárias e as partes reais com as partes reais, (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)


Subtração: A mesma ideia da adição é aplicada na subtração, só troca  o sinal (a,b) - (c,b) = (a-c , b-d)


Multiplicação: Dados dois numeros complexos z¹ (a,b) e z² (c,d), para podemos determinar z³ = z¹ . z² aplicamos a distribuitiva, onde (a,b) . (c,d) fica igual a (a.c - b.d , a.d - b.c)   

Compreendendo os Números Complexos

O fato de um número negativo não ter raiz quadrada parece ter sido sempre claro para os matemáticos que se depararam com essa questão, então Para a ampliação dos conjuntos, os matemáticos criaram um conceito matemático e um novo número, que indicaram por i  e denominaram unidade imaginária, tal que : i² = i . i = -1
Logo, surgiram os números complexos, denotados por , que podem ser escritos na forma algébrica, que seria:  z = a +bi com {a,b} onde a e b são números reais e i denota a unidade imaginária.

OBS.:

1- Quando b= 0, z é um número real.
2- quando a= 0 e b≠0, z é um número imáginario puro.